Определение и свойства

В дифференциальном исчислении по данной функции находилась её производная. В этом разделе будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) (дифференциала f(x)dx ) на отрезке  [a,b], если F(x)=f(x) для всех x[a,b] ( dF(x)=f(x)dx ).

Нетрудно видеть, что функция sinx13sin3x является первообразной для функции cos3x. Действительно, (sinx13sin3x)=cosxsin2xcosx=cosx(1sin2x)=cos3x.

Аналогично доказывается, что sin2x является первообразной для 2cos2x.

Докажем несколько свойств первообразных.

Теорема 1. Если  F(x)   первообразная для функции  f(x), то  F(x)+C, где  C - некоторая константа, также является первообразной для  f(x).

Доказательство. Действительно, (F(x)+C)=  F(x)+C=  =f(x). Теорема доказана.

Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x)Ф(x) есть константа.

Доказательство. Докажем вначале, что если для x[a,b]  ϕ(x)=0, то ϕ(x) есть константа на [a,b]. Пусть x1,x2 - любые две точки из [a,b]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях, существует точка ξ из отрезка [x1,x2] такая, что ϕ(x2)ϕ(x1)=ϕ(ξ)(x2x1). Так как по условию ϕ(ξ)=0, то ϕ(x2)=ϕ(x1) и поэтому, в силу произвольности x1,x2, ϕ(x) есть константа на [a,b]. Вычисляя производную, получаем (F(x)Ф(x))=  F(x)Ф(x)=f(x)f(x)=0 для df(x)dx=d(F(x)+C)=F(x)dx=f(x)dx и, по доказанному выше, F(x)Ф(x) есть константа. Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 получается важный результат.

Теорема 3. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением   Ф(x)=F(x)+C. 

Теорема 3 позволяет ввести нижеследующий объект.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается f(x)dx.

Укажем несколько свойств неопределенного интеграла:

1. df(x)dx=f(x)dx.

Действительно, если F(x) - какая-либо первообразная функции f(x), то df(x)dx=d(F(x)+C)=F(x)dx=f(x)dx.

2. dF(x)=F(x)+C.

Доказывается аналогично.

3. af(x)dx=af(x)dx.

Вычисляя дифференциал правой части, получаем d(af(x)dx)=ad(f(x)dx)=af(x)dx. Последнее означает спра-ведливость доказываемого свойства.

4. (f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx;

Аналогично предыдущему, вычисляя дифференциал правой части, получаем d(f(x)dx±g(x)dx)=df(x)dx±dg(x)dx  =f(x)dx±g(x)dx=(f(x)±g(x))dx=d((f(x)±g(x))dx). Свойство доказано.

Заметим, что свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования.

5. f(x)dx=f(x(t))x(t)dt.

Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.

Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам. Таблица интегралов обратна к таблице производных и может быть легко получена.

Таблица интегралов

1. 0dx=C 

2. 1dx=x+C 

3. xαdx=xα+1α+1+C,α1 

4. dxx=ln|x|+C 

5. dx1+x2=arctgx+C=arcctgx+C¯ 

6. dx1x2=arcsinx+C=arccosx+C¯ 

7. axdx=axlna+C 

7а. exdx=ex+C 

8. cosxdx=sinx+C 

9. sinxdx=cosx+C 

10. dxcos2x=tgx+C 

11. dxsin2x=ctgx+C 

12. shxdx=chx+C 

13. chxdx=shx+C 

14. dxsh2x=cthx+C 

15. dxch2x=thx+C.