Подведение под знак дифференциала

Иногда удается представить подынтегральное выражение f(x)dx в виде f(u)du, где u - некоторая функция от x, и при этом интеграл f(u)du является табличным. Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования формулы замены переменной , выраженной свойством 5 неопределённого интеграла f(x)dx=f(x(t))x(t)dt. Для овладения этим приёмом необходимо устойчивое (доведённое до автоматизма) знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию. Нам также понадобится свойство дифференциала

 df(x)=1ad(af(x))=1ad(af(x)+b).

Примеры

1. xdx1+x2=122xdx1+x2=12d(x2)1+x2=12d(1+x2)1+x2=12ln(1+x2)+C. 

Знак модуля опущен в силу того, что 1 + x2 ≥ 1 > 0 для  x из R.

2. x3dx1+x4=144x3dx1+x4=14d(x4)1+x4=14d(1+x4)1+x4=14ln(1+x4)+C.

3. x3dx1+x8=144x3dx1+(x4)2=14d(x4)1+(x4)2=14arctg(x4)+C. 

4. sin2xdx=12sin2xd(2x)=12cos2x+C. 

С другой стороны, sin2xdx=2sinxcosxdx=2sinxdsinx=sin2x+C;  sin2xdx=2sinxcosxdx=2cosxdcosx=cos2x+C. 

Последний пример показывает, что у одной и той же функции может быть несколько разных первообразных, связанных между собой соотношением Ф(x)=F(x)+C.

Займёмся более подробно указанным приёмом. Вначале приведём таблицу дифференциалов в необходимой нам форме.

Таблица основных дифференциалов

1. dx=1ad(ax)=1ad(ax+b), где a и b - некоторые числа. В частности, dx=12d(2x)=12d(2x+b)=13d(3x)=13d(3x+b) и так далее.

2. xαdx=1α+1d(xα+1)=1α+1d(xα+1+b). В частности, xdx=12d(x2)=12d(x2+b), x2dx=13d(x3)=13d(x3+b), dxx2=d(1x)=d(1x+b), dxx3=12d(1x2)=12d(1x2+b), dxx=2d(x)=2d(x+b).

3. dxx=d(lnx)=d(lnx+b)=1ad(alnx+b).

4. exdx=d(ex)=d(ex+b).

5. cosxdx=dsinx=d(sinx+b).

6. sinxdx=dcosx=d(cosx+b).

7. dxcos2x=dtgx=d(tgx+b).

8. dxsin2x=dctgx=d(ctgx+b).

Остальное читатель в состоянии восстановить самостоятельно из таблицы производных.

Покажем теперь применение вышесказанного для некоторых интегралов с указанием табличных, к которым они сводятся.

Интегралы  xαdx=1α+1xα+1+C:

 x1+x23dx=121+x23d(x2)=121+x23d(x2+1). В этом месте можно либо продолжить вычисления непосредственно и тогда получим 121+x23d(x2+1)=12(1+x2)13d(x2+1)=  =12(1+x2)43:43+C=38(1+x2)43+C, либо сделать замену переменных u=x2+1 и тогда 121+x23d(x2+1)=  =12u13du=12u43:43+C=38(1+x2)43+C.

 sin3xcosxdx=sin3xdsinx=sin4x4+C;

 sin35xcos5xdx=15sin35xdsin5x=sin45x54+C=sin45x20+C;

 arctgx1+x2dx=arctgxd(arctgx)=arctg2x2+C;

Примеры (1+sinx)3cosxdx; (1+lnx)5xdx; 1+lnxxdx; x1+x2dx; cosxdx1+sinx; dxx(1+lnx)3 рекомендуется использовать для тренировки.

Интегралы  dxx=ln|x|+C:

 exdxex+1=d(ex)ex+1=d(ex+1)ex+1=ln(ex+1)+C;

 sin3x1+cos3xdx=13d(cos3x)1+cos3x=13d(cos3x+1)1+cos3x=13ln(1+cos3x)+C; 

 cos5x1+sin5xdx=15d(sin5x)1+sin5x=15ln(1+sin5x)+C;

Примеры dxcos2x(1+tgx), x31+x4dx, dxx(5+lnx), xdx9+x2, xdx16+x2 предлагаются для тренировки.

Интегралы  dx1+x2=arctgx+C:

 dx4+x2=14dx1+x24=12d(x2)1+(x2)2=12arctg(x2)+C;

 dxx2+6x+10=dxx2+6x+9+1=dx(x+3)2+1=d(x+3)(x+3)2+1=arctg(x+3)+C; 

 x51+x12dx=16dx61+x12=16dx61+(x6)2=16arctg(x6)+C;

 x41+x10dx=15dx51+x10=15dx51+(x5)2=15arctg(x5)+C;

 e5xdxe10x+1=15d(e5x)1+(e5x)2=15arctg(e5x)+C;

 e4xdxe8x+1=14d(e4x)1+(e4x)2=14arctg(e4x)+C;

 sinx1+cos2xdx=d(cosx)1+cos2x=arctg(cosx)+C;

Примеры cosx1+sin2xdx, dxcos2x(1+tg2x), dxx(1+ln2x), dx9+x2, dx36+x2, xdx9+x4, xdx16+x4 предлагаются для тренировки.

Интегралы  exdx=ex+C:

 xex2dx=12ex2d(x2)=ex2+C;

 e3sin2xcos2xdx=16e3sin2xd(3sin2x)=16e3sin2x+C;

 e2tgxcos2xdx=12e2tgxd(2tgx)=12e2tgx+C;

Интегралы e(ln2x+2)lnxxdx; ecos4xsin4xdx; ex2+lnxdx; e1/x3dxx4 предлагаются для тренировки.

Интегралы  cosxdx=sinx+C.

 cos2xdx=12cos2xd2x=12sin2x+C;

 xcos(x2+3)dx=12cos(x2+3)d(x2+3)=12sin(x2+3)+C;

Интегралы coslnxxdx; 1xcosxdx предлагаются для тренировки.

Интегралы  f(1xα)dxxα+1=1αf(1xα)d(1xα).

 cos1xdxx2=cos1xd(1x)=sin(1x)+C;

 e1/x2dxx3=12e1/x2d(1x2)=12e1/x2+C;

 sin1x3dxx4=13sin1x3d(1x3)=13cos1x3+C;

Интеграл 1x7cos(1x6)dx предлагается для тренировки.

С помощью рассмотренного приёма вычисляются первые четыре интеграла в контрольной работе 5.