Первообразная функция

Определения

Определение. Функция F(x)  называется первообразной для функции f(x)  (дифференциала f(x)dx  ) на отрезке [a,b], если F(x)  дифференцируема на [a,b]  и F(x)=f(x)  для всех x[a,b]  ( dF(x)=f(x)dx  ).

Нетрудно видеть, что функция sinx13sin3x  является первообразной для функции cos3x. Действительно,

 (sinx13sin3x)=cosxsin2xcosx=cosx(1sin2x)=cos3x.

Аналогично доказывается, что sin2x  является первообразной для 2cos2x.

Свойства первообразных

Теорема 1.1. Если  F(x)     первообразная для функции  f(x), то  F(x)+C, где  C     некоторая константа, также является первообразной для  f(x).

Теорема 1.2. Если F(x)  и Ф(x)  − две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x)Ф(x)  есть константа.

Из теорем 1.1 и 1.2 получается важный результат.

Теорема 1.3. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением   Ф(x)=F(x)+C.