Подведение под знак дифференциала

Рекомендации

Для овладения этим приемом рекомендуется изучить п.1.2.1учебного пособия [5], выучить таблицы интегралов и дифференциалов, приведенные выше и в п.1.1и п.1.2.1пособия [5], довести до автоматизма знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию.

Суть приёма

Иногда удается представить подынтегральное выражение в виде f(x)dx=ϕ(u(x))du(x), где u  - некоторая функция от x, и при этом интеграл ϕ(u)du  является табличным. Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант замены переменной, выраженной свойством 4.

Примеры на применение приёма

Рассмотрим этот прием для некоторых из интегралов, приведенных в таблице.

Интегралы xαdx=1α+1xα+1+C:

Пример 1.  x2+x24dx 

Решение

Пример 2. x3+7x25dx 

Решение

Пример 3. sinxcosxdx 

Решение

Пример 4. sin5x3cos5xdx 

Решение

Пример 5. arctg3x1+9x2dx 

Решение

Интегралы dxx=ln|x|+C:

Пример 6.  xdx3+5x2 

Решение

Пример 7.  x3dx2+3x4 

Решение

Пример 8. exdx3ex+2 

Решение

Пример 9. sin5x7+4cos5xdx 

Решение

Пример 10. dx(2+3tg5x)cos25x 

Решение

Интегралы dx1+x2=arctgx+C=arcctgx+C¯,

 dxa2+x2=1aarctgxa+C=1aarcctgxa+C¯:

Пример 11.  x3dx1+4x8 

Решение

Пример 12. dx9+5x2 

Решение

Пример 13. dxx2+10x+34 

Решение

Пример 14. x516+9x12dx 

Решение

Пример 15. x625+9x14dx 

Решение

Пример 16. e6xdxe12x+9 

Решение

Пример 17. e4xdx4e8x+25 

Решение

Пример 18. sinx9+4cos2xdx 

Решение

Пример 19. cos5xdx4+9sin25x 

Решение

Пример 20. dx9sin27x+16cos27x 

Решение

Пример 21. dx5x(16+45x) 

Решение

Интегралы dx1x2=arcsinx+C=arccosx+C¯,

 dxa2x2=arcsin(xa)+C=arccos(xa)+C¯:

Пример 22. x2dx1x6 

Решение

Пример 23. x3dx19x8 

Решение

Пример 24. dx94x2 

Решение

Пример 25.  dxx214x45 

Решение

Пример 26.  e5xdx9e10x 

Решение

Пример 27.  e4xdx49e8x 

Решение

Пример 28. sinx43cos2xdx 

Решение

Пример 29.  dx3x2512x 

Решение

Интегралы exdx=ex+C:

Пример 30. x2ex3dx 

Решение

Пример 31. x2e5x3+4dx 

Решение

Пример 32.  e4sin3xcos3xdx 

Решение

Пример 33.  e3ctg2xsin22xdx 

Решение

Интегралы cosxdx=sinx+C, sinxdx=cosx+C:

Пример 34. cos3xdx 

Решение

Пример 35.  x2cos(2x3+3)dx 

Решение

Пример 36. sin5xdx 

Решение

Пример 37.  x3sin(5x4+6)dx 

Решение

Интегралы f(1xα)dxxα+1=1αf(1xα)d(1xα):

Пример 38. sin1xdxx2 

Решение

Пример 39. e1/x4dxx5 

Решение

Пример 40. cos1x3dxx4 

Решение