Простейшие преобразования подынтегрального выражения

Некоторые интегралы легко вычисляются, если подынтегральное выражение преобразовать. Рассмотрим некоторые из таких преобразований.

Выделение целой части.

Суть приёма видна из примеров.

Примеры

1. xx+2dx=x+22x+2dx=dx2dxx+2=x2ln|x+2|+C. 

2. xx+3dx=x+33x+3dx=dx3dxx+3=x3ln|x+3|+C. 

3. x2x2+4dx=x2+44x2+4dx=dx4dxx2+4=x2arctgx2+C. 

4. x2x2+16dx=x2+1616x2+16dx=dx16dxx2+16=x4arctgx4+C. 

5. (x+2)2x2+4dx=x2+4+2xx2+4dx=dx+2xdxx2+4=  =dx+d(x2+4)x2+4=x+ln(x2+4)+C. 

Интегралы x+5x2dx, x+5x2dx, (x+5)2x2+25dx предлагается вычислить самостоятельно.

Преобразование тригонометрического выражения.

Наиболее часто применяются понижение степени с использованием формул

 sin2x=1cos2x2, cos2x=1+cos2x2,

преобразование произведения в сумму по формулам

 sinαsinβ=12(cos(αβ)cos(α+β)),

 cosαcosβ=12(cos(αβ)+cos(α+β)),

 sinαcosβ=12(sin(αβ)+sin(α+β)) 

и некоторые другие.

Примеры

1. sin2xdx=1cos2x2dx=12x14sin2x+C. 

2. cos2xdx=1+cos2x2dx=12x+14sin2x+C. 

3. cos3xcosxdx=12(cos2x+cos4x)dx=14sin2x+18sin4x+C. 

4. cos2xsin5xdx=12(sin7x+sin3x)dx=cos7x14cos3x6+C. 

5. sin2xsin6xdx=12(cos4xcos8x)dx=18sin4x116sin8x+C.

6. ctg2xdx=cos2xsin2xdx=1sin2xsin2xdx=ctgxx+C.

Интегралы sin23xdx, sin7xcos3xdx, tg23xdx предлагается найти самостоятельно.