Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть выражение вида P(x)Q(x), где

 P(x)=l=0kalxl=akxk+ak1xk1+...+a1x+a0 

и

 Q(x)=l=0nalxl=anxn+an1xn1+...+a1x+a0 -

полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе,то есть k<n то такую рациональную дробь называют правильной.

В дальнейшем будем считать, что  k<n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x)=Q(x)R(x)+S(x), где R(x) и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда

  P(x)Q(x)=R(x)+S(x)Q(x),1.2

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем.

Покажем на примере, как можно получить разложение (1.2). Пусть P(x)=x7+3x6+3x53x3+4x2+x2,  Q(x)=x3+3x2+x2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа. Имеем

 _x7+3x6+3x53x3+4x2+x2|x3+3x2+x2x4+2x24x+7x7+3x6+x52x4¯_2x5+2x43x3+4x2+x22x5+6x4+2x34x2¯_4x45x3+8x2+x24x412x34x2+8x¯_7x3+12x27x27x3+21x2+7x14¯9x214x+12 

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q ) R(x)=x4+2x24x+7 и остаток S(x)=9x214x+12 от этого деления.

Рассмотроим, вначале, интегрирование простейших рациональных дробей. Интегралы dxxa=ln|xa|+C, dx(xa)n=1(n1)(xa)n1+C,n1, dxx2+a2=1aarctgxa+C 

являются табличными, а интеграл Jn=dx(x2+a2)n может быть найден или по рекуррентной формуле (1.1) Jn+1=12na2x(x2+a2)n+2n12na2Jn полученной выше интегрированием Jn по частям, или с помощью таблиц. [5,7].

Интегралы dxx2+px+q, dx(x2+px+q)n в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант D=p24q<0 ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам dxx2+a2, dx(x2+a2)n заменой x+p2=t. Покажем на примере, как это делается.

Пример.

Вычислить интеграл dxx2+4x+20.

Имеем x2+4x+20=(x2+4x+4)+16=  (x+2)2+42. Сделав замену x+2=t, окончательно получаем dxx2+4x+20=dtt2+42=14arctgt4+C=14arctgx+24+C.

Интегралы Mx+Nx2+px+qdx, Mx+N(x2+px+q)ndx выделением в числителе дифференциала x2+px+q сводятся к интегралам dxx2+px+q, dx(x2+px+q)n.

Пример.

Вычислить интеграл 3x+3x2+4x+20dx.

Производная знаменателя равна 2x+4. Поэтому 3x+3x2+4x+20dx=322x+2x2+4x+20dx=322x+42x2+4x+20dx  =32d(x2+4x+20)x2+4x+20322x2+4x+20dx=32ln(x2+4x+20)  34arctgx+24+C. (Интеграл dxx2+4x+20 найден в предыдущем примере).

Таким образом, осталось научиться раскладывать правильные рациональные дроби на сумму простейших.

По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде Q(x)=an(xx1)(xx2)...(xxn)=anl=1n(xxl), где xl   корни полинома Q(x), повторенные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1,x2,...,xn. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде P(x)Q(x)=A1xx1+A2xx2+...+Anxxn, где A1,A2,...,An - числа, подлежащие определению. Если xi - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых A1xxi+A2(xxi)2+...+Aα(xxi)α. Если xj - комплексный корень кратности α полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число xj¯ - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида Mx+Nx2+px+q, если xj,xj¯   корни кратности один. Если xj,xj¯   корни кратности α, то им соответствует α слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

 M1x+N1x2+px+q+M2x+N2(x2+px+q)2+...+Mαx+Nα(x2+px+q)α.

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей рассмотренных в начале пункта.

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj,Mj,Nj в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj,Mj,Nj приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.

Примеры

1. Найти x2x+1x33x+2dx.

Корни знаменателя   x1=2 кратности 1 и x2=1 кратности 2. Поэтому x33x+2=  (x+2)(x1)2 и подынтегральная функция может быть представлена в виде

 x2x+1x33x+2=A1x+2+A2x1+A3(x1)2. 

Приводя к общему знаменателю, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего сотношения, получаем

 {A1+A22A1+A2+A3A12A2+2A3=1,=1,=1. 

Решая эту систему, находим A1=79,A2=29,A3=13.

Таким образом,

 x2x+1x33x+2dx=79dxx+2+29dxx1+13dx(x1)2=79ln|x+2|+29ln|x1|13(x1)+C. 

2. Найти 2x2+2x2x32x4dx.

Корни знаменателя   x1=2 кратности 1 и два комплексных корня x2,3=1±i. Поэтому x32x4=(x2)(x2+2x+2) и подынтегральная функция может быть представлена в виде

 2x2+2x2x32x4=Ax2+Mx+Nx2+2x+2. 

Приводя к общему знаменателю, получаем

 2x2+2x2x32x4=A(x2+2x+2)+(Mx+N)(x2)x32x4=(A+M)x2+(2A2M+N)x+(2A2N)x32x4. 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего сотношения, получаем

 {A+M2A2M+N2A2N=2,=2,=2. 

Решая эту систему, находим A=1,M=1,N=2. 

Таким образом,

 2x2+2x2x32x4dx=dxx2+x+2x2+2x+2dx=dxx2+x+1+1x2+2x+2dx=dxx2+x+1x2+2x+2dx+1x2+2x+2dx=  ln|x2|+12ln(x2+2x+2)+arctg(x+1)+C. 

3. Найти 14x2+54x+43(x2+2x+2)(x5)2dx.

Корни знаменателя x1,2=5 кратности 2 и пара комплексно сопряжённых корней x3,4=1±i кратности 1. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде

 14x2+54x+43(x2+2x+2)(x5)2=A1x5+A2(x5)2+Mx+Nx2+2x+2.

Приводя к общему знаменателю и подобные, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего сотношения, получаем

 {A1+M3A1+A210M+N8A1+2A2+25M10N10A1+2A2+25N====0,14,54,43. 

Решая эту систему, находим A1=2,A2=1,M=2,N=1.

Таким образом,

4. Найти 2x3+6x2+4(x2+1)2(x1)dx.

Корни знаменателя   x1=1 кратности 1 и два комплексных корня x2,3,4,5=±i кратности 2. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде

 2x3+6x2+4(x2+1)2(x1)=Ax1+M1x+N1x2+1+M2x+N2(x2+1)2. 

Дальнейшие вычисления предлагается проделать самостоятельно.