]> 2

Определение и свойства

Определение. Пусть функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a,b] (  <a,b< ). Разобьем отрезок [a,b] на части точками a=x0<x1<...<xn=b, выберем внутри каждого элементарного отрезка [xi,xi+1] по точке ξi[xi,xi+1] (если b<a, то разбиваем точками a=x0>x1>...>xn=b и ξi выбираем из отрезка [xi+1,xi] ) и составим сумму σn=i=0n1f(ξi)Δxi. Предел сумм σn по всевозможным разбиениям, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора точек ξi, при условии, что максимальная длина |Δxi|=|xi+1xi| отрезков [xi,xi+1] стремится к нулю, называется определенным интегралом (интегралом Римана) от функции f(x) и обозначается abf(x)dx. 

Заметим, что если функция f(x) имеет на отрезке [a,b] конечное число точек разрыва первого рода, то для нее существует интеграл Римана. Примером функции для которой не существует интеграл Римана служит функция Дирихле

 D(x)={1,если xрациональное  число,    0,если xиррациональное  число. 

Действительно, если при любом разбиении отрезка [a,b] точки ξi выберем рациональными, то интегральная сумма будет равна длине отрезка интегрирования, а если точки ξi выберем иррациональными, то интегральная сумма будет равна нулю. Отсюда следует, что предел интегральных сумм зависит от выбора точек ξi и поэтому интеграл Римана от функции D(x) не существует.

Отметим некоторые свойства определенного интеграла при условии существования всех используемых ниже интегралов.

1. abf(x)dx=baf(x)dx. Следует из определения, так как все Δxi меняют знак.

2. abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx. Действительно, если c[a,b], то, включив c в число точек разбиения, получаем требуемое. Если c[a,b], то при b<c применяем только что доказанное к отрезку [a,c] и пользуемся свойством 1. При c<a аналогично.

3. ab(f(x)±g(x))dx=abf(x)dx±abg(x)dx. 

4. abkf(x)dx=kabf(x)dx. 

5. Если f(x)0 на [a,b] и ab, то abf(x)dx0.

6. Если f(x)g(x) на [a,b] и ab, то abf(x)dxabg(x)dx..

7. |abf(x)dx|ab|f(x)|dx(ab). 

8. Если mf(x)M и ab, то m(ba)abf(x)dxM(ba). 

9. abf(x)dx=μ(ba), где μ - некоторое число, mμM.

10. Если f(x) непрерывна на [a,b], то существует точка c из [a,b] такая, что abf(x)dx=f(c)(ba). 

Свойства 3 − 9 следуют из определения. Свойство 10 следует из 9 и теоремы Вейерштрасса о промежуточных значениях.