Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию Φ(x)=axf(t)dt. Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.

Теорема 2.1. Если f(x) интегрируемая на [a,b] функция, то Φ(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем Φ(x+h)Φ(x)=xx+hf(t)dt=μh, откуда, при h0, получаем требуемое.

Теорема 2.2. Если f(x) непрерывная на [a,b] функция, то Φ(x)=f(x) на [a,b].

Доказательство. По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем Φ(x+h)Φ(x)h=f(c), где с  некоторая точка отрезка [x,x+h]. В силу непрерывности функции f получаем

 Φ(x)=limh0Φ(x+h)Φ(x)h=limh0f(c)=f(x).

Таким образом, Φ(x) - одна из первообразных функции f(x), следовательно, Φ(x)=F(x)+C, где F(x) - другая первообразная f(x). Далее, так как Φ(a)=0, то 0=F(a)+C, следовательно, C=F(a) и поэтому Φ(x)=F(x)F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

 abf(x)dx=Φ(b)=F(b)F(a). 

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определённых интегралов мы можем применять весь набор приёмов и методов нахождения неопределённых интегралов.

Примеры

1. 01ex2xdx=1201ex2d(x2)=12ex2|01=e1e02=e12. 

 2.π4π3sin3xcosxdx=π4π3sin3xdsinx=sin4x4|π4π3=14(sin4π3sin4π4)=14((32)4((22)4)=564.