Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.

Теорема 2.3. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и ϕ:[α,β][a,b] - дифференцируемое биективное (взаимно однозначное) отображение, такое, что ϕ(α)=a;  ϕ(β)=b. Тогда abf(x)dx=αβf(ϕ(t))ϕ(t)dt. 

Доказательство. Разобьём отрезок [α,β] на части точками t0,t1,...,tn, выберем внутри каждого отрезка [ti,ti+1] по точке τi[ti,ti+1]. Этому разбиению отрезка [α,β] и выбору точек τi[ti,ti+1] соответствуют разбиение отрезка [a,b] точками xi=ϕ(ti) и выбор точек ξi=ϕ(τi)[xi,xi+1]. Составим интегральную сумму

 σn=i=0n1f(ξi)Δxi=i=0n1f(ϕ(τi))Δxi=i=0n1f(ϕ(τi))ϕ(τi)Δτi+o(Δτ), где o(Δτ) - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем Δτ=max1inΔτi. Переходя к пределу по всевозможным разбиениям, получаем справедливость утверждения теоремы.

Примеры.

1. Вычислить интеграл 04xdx1+x. Положим x=t2. Тогда α=0,β=2, dx=2tdt и поэтому исходный интеграл равен

 022t3dt1+t=202((t3+1)1)dt1+t=  202((t+1)(t2t+1)1)dt1+t=  =202(t2t+1)dt202dt1+t=  2(t33t22+tln(1+t))|02=  2(8342+2(ln3ln1))=1632ln3. 

2. Вычислить интеграл 38dx2+x+1. Положим x+1=t2. Тогда α=2,β=3, dx=2tdt и поэтому

 38dx2+x+1=223tdtt+2=223t+22t+2dt=223dt423dtt+2=2t|234ln(t+2)|23=2(32)4(ln5ln4)=24ln1,25.