Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a,) и для всякого Aa существует интеграл aAf(x)dx. Предел limAaAf(x)dx называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается af(x)dx. Если limAaAf(x)dx существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Примеры.

1. Рассмотрим 1dxxα. Пусть α=1. Тогда 1dxx=  =limA1Adxx=limA(lnx|1A)=limA(lnAln1)=. Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α1. Тогда  

 1dxxα=limA1Adxxα=limAx1α1α|1A={приα<1,1α1приα>1, 

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α1 расходится и при α>1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

2. Выясним сходимость интеграла 1dxx22x+2.

Имеем 1dxx22x+2=limA1Adxx22x+2=limA1Adx(x1)2+1=  limA(arctg(x1)|1A=limA(arctg(A1)arctg0)=π2. Следовательно, интеграл сходится и его значение равно π2.  

3. Выяснить сходимость интеграла 0xex2dx=0xexp(x2)dx. По определению получаем

 0xex2dx=limA0Axex2dx=limA(12)0Aex2d(x2)=  =limA(12ex2|0A)=12limA12eA2=12. 

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 0,5.

4. Для интеграла edxxlnx имеем

 edxxlnx=limAeAdlnxlnx=limA2lnx|eA=limA(2lnA2)=.

Следовательно, интеграл расходится.

5. Для интеграла edxxln2x по определению имеем

 edxxln2x=limAeAdlnxln2x=limA(1lnx)|eA=limA(1lnA+1)=1.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

6. Выяснить сходимость интеграла 0eαxdx, α>0.

По определению

 0eαxdx=limA0Aeαxdx=limA(1α)0Aeαxd(αx)=  =limA(1αeαx|0A)=1αlimA1αeA=1α. 

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1α.

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

Теорема 2.4. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует Aa такое, что для всех A1,A2A выполнено неравенство |A1A2f(x)dx|<ε. 

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода af(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл a|f(x)|dx. 

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла a|f(x)|dx выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства |A1A2f(x)dx|A1A2|f(x)|dx, критерий Коши выполнен и для интеграла af(x)dx. 

Обратное утверждение неверно.

Сходимость несобственного интеграла af(x)dx определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла f(x)dx можем записать f(x)dx=af(x)dx+af(x)dx и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. В качестве точки a выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл xdx1+x2. По определению сходимости этого интеграла получаем

 xdx1+x2=limA1A10xdx1+x2+limA2+0A2xdx1+x2=limA1ln(x2+1)|A10+limA2+ln(x2+1)|0A2=. 

Так как оба слагаемых расходятся,то исходный интеграл расходится.

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к  можем записать

 xdx1+x2=limAAAxdx1+x2=limA12ln(x2+1)|AA=12limA(ln(A2+1)ln(A2+1))=0. 

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода f(x)dx сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел limAAAf(x)dx.

Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода f(x)dx может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.

Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода af(x)dx. 

1. Если интеграл af(x)dx сходится, то для всякого ba интеграл bf(x)dx сходится и af(x)dx=abf(x)dx+bf(x)dx. 

2. Если интеграл af(x)dx сходится, то сходится интеграл aαf(x)dx и имеет место равенство aαf(x)dx=αaf(x)dx. 

3. Если интегралы af(x)dx и ag(x)dx сходятся, то сходятся интегралы a(f(x)±g(x))dx и имеет место равенство

 a(f(x)±g(x))dx=af(x)dx±ag(x)dx. 

Обратное утверждение неверно, то есть, если интеграл от алгебраической суммы функций сходится, то интегралы от слагаемых сходиться не обязаны. Например, интегралы 1dxx и 1dxx+1 расходятся, а интеграл 1(1x1x+1)dx=1dxx(x+1), как будет показано позднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.5. Пусть для всякого xA(Aa) выполнено неравенство |f(x)||g(x)|. Тогда, если интеграл ag(x)dx абсолютно сходится, то интеграл af(x)dx абсолютно сходится, а если интеграл af(x)dx абсолютно расходится, то интеграл ag(x)dx абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях теоремы для всех Aa имеем aA|f(x)|dxaA|g(x)|dx. Тогда, если интеграл a|g(x)|dx сходится, то aA|f(x)|dx есть монотонно возрастающая ограниченная сверху функция от A и поэтому имеет предел при A. Если интеграл a|f(x)|dx расходится, то limAaA|f(x)|dx= и поэтому limAaA|g(x)|dx=.

Теорема 2.6. Если f(x) и g(x) -бесконечно малые одного порядка малости, то есть limxf(x)g(x)=K0,, то интегралы af(x)dx и ag(x)dx либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство. Так как limxf(x)g(x)=K, то limx|f(x)g(x)|=|K|. Возьмем 0<ε<|K|. По определению предела существует M>0 такое, что для всех x>M выполнено неравенство |K|ε<|f(x)g(x)|<|K|+ε, а, следовательно, и неравенство |g(x)|(|K|ε)<|f(x)|<(|K|+ε)|g(x)|. Из последнего неравенства и теоремы 2.5 получаем утверждение теоремы.

Примеры

1.      Выяснить сходимость интеграла 12+sinxx2dx. 

Так как |2+sinxx2|3x2 для всех x1, а интеграл 13x2dx сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

2.      Выяснить сходимость интеграла 11x(x+1)dx. 

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1xα, получаем

 limxxαx(x+1)={0,1,,если α<2;если α=2;если α>2. 

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 2 и, следовательно, интеграл сходится.

3. Выяснить сходимость интеграла 11(x+1)x+2dx. 

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1xα, получаем

 limxxα(x+1)x+2={0,1,,если α<1,5;если α=1,5;если α>1,5. 

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

4. Выяснить сходимость интеграла 11(x+2)x+53dx. 

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1xα, получаем

 limxxα(x+2)x+53={0,1,,если α<43;если α=43;если α>43. 

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 43 и, следовательно, интеграл сходится.

5. Выяснить сходимость интеграла 1x+2x2+4dx. 

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1xα, получаем

 limxx+2xαx2+4={0,1,,если α<1,5;если α=1,5;если α>1,5. 

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

6. Выяснить сходимость интеграла 1x3+1x2+5dx. 

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1xα, получаем

 limxxαx3+2x2+5={0,1,,если α<0,5;если α=0,5;если α>0,5. 

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 0,5 и, следовательно, интеграл расходится.

7. Интеграл 0ex2dx сходится, так как имеет место оценка ex2xex2 для всех x1, а интеграл 0xex2dx, как было показано ранее, сходящийся.

8. Интеграл edxlnx расходится, так как имеет место оценка 1lnx1xlnx для всех xe, а интеграл edxxlnx, как было показано ранее, расходится.