Несобственные интегралы второго рода

Если f(x) неограничена на (a,b), то особенность может быть в точках a,b или внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке b.

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и limxbf(x)=. Пусть далее для всякого 0<δ<ba существует интеграл abδf(x)dx. Предел limδ0abδf(x)dx называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается abf(x)dx. Если  limδ0abδf(x)dx существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

Примеры.

1. Рассмотрим 01dxxα. Пусть α=1. Тогда 01dxx=  =limε0ε1dxx=  limε0(lnx|ε1)=limε0(ln1lnε)=. Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α1. Тогда

 01dxxα=limε0ε1dxxα=limε0x1α1α|ε1={1α1приα<1,приα>1, 

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α<1 сходится и при α1 расходится. Аналогичные выводы можно сделать про несобственные интегралы  abdx(xa)α,  abdx(bx)α.

Интегралы 01dxxα, abdx(xa)α, abdx(bx)α используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

2. В интеграле 1edxxlnx подынтегральная функция имеет особенность в точке x=1, поэтому 1edxxlnx=limδ01+δedlnxlnx=  limδ02lnx|1+δe=limδ0(2lne2ln(1+δ))=2.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.

3. В интеграле 01/edxxln2x подынтегральная функция имеет особенность в точке x=0,поэтому 01/edxxln2x=limδ0δ1/edlnxln2x=limδ0(1lnx)|δ1/e=limδ0(1ln1e+1lnδ)=1. Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

4. Выясним сходимость интеграла 01dx1x2. Подынтегральная функция имеет особенность в точке x=1. Поэтому 01dx1x2=  limδ001δdx1x2=limδ0arcsin|01δ=limδ0(arcsin(1δ)arcsin0)=π2. Следовательно, интеграл сходится и его значение равно π2.

5.      Выяснить сходимость интеграла 12dxx1. 

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x=1. По определению имеем

 12dxx1=limδ01+δ2dxx1=limδ0(2x1)|1+δ2=2. 

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех δ1,δ2δ выполняется неравенство |bδ1bδ2f(x)dx|<ε. 

Доказательство этого результата опустим.

Теорема 2.8. Пусть для всякого bδx<b выполнено неравенство 0f(x)g(x). Тогда, если интеграл abg(x)dx сходится, то интеграл abf(x)dx сходится, а если интеграл abf(x)dx расходится, то интеграл abg(x)dx расходится.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Теорема 2.9. Если f(x) и g(x) - бесконечно большие одного порядка роста, то есть limxbf(x)g(x)=K0,, то интегралы abf(x)dx и abg(x)dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Примеры

1. Для интеграла 23dxx23x23 подынтегральная функция имеет особенность в точках x=2 и x=±3. Точки x=±3 в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно 1x2, имеем

 limx2(x2)αx23x23={,63,0,если α<0,5;если α=0,5;если α>0,5. 

Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.

2. В интеграле 23dxx19x23 подынтегральная функция имеет особенность в точках x=1 и x=±3. Точки x=1 и x=3 в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно 13x, имеем limx3(3x)αx19x23=  limx3(3x)αx13x33+x3={,1263,0,если α<13;если α=13;если α>13. 

Таким образом, порядок роста равен 13 и интеграл сходится.

3. Выясним сходимость интеграла 01sinxx2dx.

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x=0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x, имеем

 limx0sinxxαx2=limx0sinxxαxx3={,1,0,если α<1,5;если α=1,5;если α>1,5. 

Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.

4. В интеграле 01sinx3xdx подынтегральная функция имеет особенность в точке x=0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x, имеем

 limx0sinx3xαx=limx0sinx3xαx3x23={,1,0,если α<23;если α=23;если α>23. 

Таким образом, порядок роста равен 23 и интеграл сходится.

5. Выясним сходимость интеграла 01ln(1+x5)xdx. 

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x=0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x, имеем

Таким образом, порядок роста равен и интеграл сходится.

6.      В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен и интеграл сходится.

7. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точках и Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен , а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен 1.