Криволинейные системы координат

Положение точки на прямой, на плоскости, в R3 и в Rn можно определить различными способами. В частности, это можно сделать, задав её декартовы координаты. Иногда же бывает удобно фиксировать положение точки при помощи других величин, например, связанных с решаемой задачей. Выяснением этих вопросов для общего случая мы и займёмся.

Пусть D,D1Rn - области, r:D1D отображение,

 x=r(u)=r(u1,u2,...,un)=(x1(u1,u2,...,un)x2(u1,u2,...,un)xn(u1,u2,...,un)).

Если r - биективное (взаимно однозначное) отображение, то будем говорить, что задана криволинейная система координат, так как в этом случае положение точки xD однозначно определяется точкой uD1. Если вектор-функция r дифференцируема, то криволинейную систему координат будем называть регулярной. Заметим, что в этом случае, по теореме о производной обратной функции [1], обратное отображение, осуществляемое вектор-функцией r1, дифференцируемо.

Система вектор-функций x=r(u)=r(u1,u2,...,un) при ul=const образует, как и в случае декартовых координат, систему координатных поверхностей. Пересечения координатных поверхностей образуют координатные поверхности меньшей размерности. В частности, при n=2, отображение r=r(u,v) задаёт криволинейную систему координат на плоскости, а кривые

 (x,y)T=r(u,C2)=x(u,C2)i+y(u,C2)j,

 (x,y)T=r(C1,v)=x(C1,v)i+y(C1,v)j,

образуют координатные линии. Аналогично, при n=3, отображение r=r(u,v,w) задаёт криволинейную систему координат в пространстве R3, поверхности

 (x,y,z)T=r(u,v,C3)=x(u,v,C3)i+y(u,v,C3)j+z(u,v,C3)k,

 (x,y,z)T=r(u,C2,w)=x(u,C2,w)i+y(u,C2,w)j+z(u,C2,w)k,

 (x,y,z)T=r(C1,v,w)=x(C1,v,w)i+y(C1,v,w)j+z(C1,v,w)k,

образуют координатные поверхности, а их пересечения, то есть кривые

 (x,y,z)T=r(u,C2,C3)=x(u,C2,C3)i+y(u,C2,C3)j+z(u,C2,C3)k,

 (x,y,z)T=r(C1,v,C3)=x(C1,v,C3)i+y(C1,v,C3)j+z(C1,v,C3)k,

 (x,y,z)T=r(C1,C2,w)=x(C1,C2,w)i+y(C1,C2,w)j+z(C1,C2,w)k,

образуют систему координатных линий.

Длины векторов rul,l=1,2,...,n, то есть числа hi=|rul|, l=1,2,...,n, называются коэффициентами Ламе криволинейной системы координат. Если вектора rul,l=1,2,...,n, попарно ортогональны, то криволинейная система координат называется ортогональной. В частности, криволинейная система координат на плоскости будет ортогональной, если перпендикулярны векторы ru(u,v), rv(u,v). Аналогично, криволинейная система координат в R3 будет ортогональной, если перпендикулярны векторы ru(u,v,w), rv(u,v,w), rw(u,v,w). Коэффициенты Ламе на плоскости равны hu=(xu)2+(yu)2, hv=(xv)2+(yv)2, и в R3, соответственно, hu=(xu)2+(yu)2+(zu)2, hv=(xv)2+(yv)2+(zv)2, hw=(xw)2+(yw)2+(zw)2.

Заметим, что для ортогональной криволинейной системы координат модуль определителя матрицы Якоби равен произведению коэффициентов Ламе.