Полярная система координат на плоскости

Наиболее часто используемой криволинейной системой координат на плоскости является полярная система координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной ρ радиус-вектора точки и углом ϕ между радиус-вектором точки и осью. Если в роли оси полярной системы взять ось OX, то в координатном виде переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам {x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,0ϕ2π. В векторной форме то же самое записывается в виде

 (xy)=r(ρ,ϕ)=(x(ρ,ϕ)y(ρ,ϕ))=(ρcosϕρsinϕ)=(ρcosϕ)i+(ρsinϕ)j.

Полярная система координат является ортогональной. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов

 rρ=(cosϕ,sinϕ)T, rϕ=(ρsinϕ,ρcosϕ)T,

получаем требуемое. Коэффициенты Ламе для полярной системы координат равны hρ=1, hϕ=ρ.