Вычисление объёмов тел

Из определения тройного интеграла следует, что объём V(G) пространственной области G выражается по формуле V(G)=Gdxdydz.

Если G - цилиндр с образующими, параллельными оси OZ, направляющей, лежащей в плоскости XOY и являющейся границей области D, ограниченный поверхностями z=z1(x,y),  z=z2(x,y), такими, что z1(x,y)z2(x,y) для (x,y)D, то

 V(G)=Gdxdydz=Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)dz=D(z2(x,y)z1(x,y))dxdy. 

Пример. Найти объём области, ограниченной поверхностями x=0,  y=0,  z=0,x=4,y=3,z=x2+y2+1. Данная область является цилиндром, проекция которого на плоскость XOY есть прямоугольник с границей x=0,  y=0,  x=4,  y=3, одновременно являющейся направляющей цилиндра. Сверху и снизу цилиндр ограничен поверхностями z=0,z=x2+y2+1. Поэтому

 V(G)=Gdxdydz=04dx03dy0x2+y2+1dz=04dx03(x2+y2+1)dy=  04(x2y+y33+y)|03dx=04(3x2+12)dx=(x3+12x)|04=112.