Вычисление площади поверхности

Пусть поверхность задана параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v), 

 (u,v)D или в векторной форме

 (xyz)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.

Рассмотрим кусок поверхности, ограниченный линиями

 r=r(u,v0),r=r(u0,v),r=r(u,v0+Δv),  r=r(u0+Δu,v). Заменим его параллелограммом, построенным в касательной плоскости на векторах ru(u,v)Δu=(xu(u,v)Δuyu(u,v)Δuzu(u,v)Δu) и rv(u,v)Δv=(xv(u,v)Δvyv(u,v)Δvzv(u,v)Δv). Площадь ΔS этого параллелограмма равна |[ru(u,v),rv(u,v)]|ΔuΔv. Можно показать, что площади выделенного куска поверхности и построенного параллелограмма отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем (Δu)2+(Δv)2. Проводя построения, аналогичные построениям в определении двойного интеграла, получаем, что площадь поверхности равна

 S=D|[ru(u,v),rv(u,v)]|dudv. 

Пусть поверхность задана явно уравнением z=f(x,y),  (x,y)D. Всякую такую поверхность можно задать параметрически (взяв в качестве параметров x,y ) или в векторной форме уравнением r=r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k. Тогда

 rx(x,y)=i+fx(x,y)k,  ry(x,y)=j+fy(x,y)k, 

 [rx(x,y),ry(x,y)]=|ijk10fx(x,y)01fy(x,y)|=fx(x,y)ify(x,y)j+k. 

Поэтому |[rx(x,y),ry(x,y)]|=1+(fx(x,y))2+(fy(x,y))2 и площадь поверхности может быть найдена по формуле

 S=D1+(fx(x,y))2+(fy(x,y))2dxdy.