Полярная система координат на плоскости

Наиболее часто используемой криволинейной системой координат на плоскости является полярная система координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной ρ  радиус-вектора точки и углом ϕ  между радиус-вектором точки и осью. Если в роли оси полярной системы взять ось OX, то в координатном виде переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам {x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,. В векторной форме то же самое записывается в виде

 (xy)=r(ρ,ϕ)=(x(ρ,ϕ)y(ρ,ϕ))=(ρcosϕρsinϕ)=(ρcosϕ)i+(ρsinϕ)j.

Угол ϕ  при этом может быть выбран из любого полуинтервала длиной 2π. Чаще всего берут полуинтервалы [0,2π), [π2,3π2), [π,π). Полярная система координат является ортогональной. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов

 rρ=(cosϕ,sinϕ)T, rϕ=(ρsinϕ,ρcosϕ)T,

получаем требуемое. Коэффициенты Ламе для полярной системы координат равны hρ=1, hϕ=ρ. Координатными линиями в полярной системе координат являются окружности радиуса C1   (xy)=(C1cosϕC1sinϕ)=(C1cosϕ)i+(C1sinϕ)j, получаемые при ρ=C1, и лучи (xy)=(ρcosC2ρsinC2)=(ρcosC2)i+(ρsinC2)j, выходящие из начала координат под углом C2  к оси OX  и получаемые при ϕ=C2. В координатной или, что тоже самое, параметрической форме, эти кривые можно записать в виде {x=C1cosϕ,y=C1sinϕ  в первом случае и {x=ρcosC2,y=ρsinC2  во втором.