Сферическая и цилиндрическая системы координат в R3 

Возможны два обобщения полярной системы координат на случай пространства R3. Первое из них называется сферической системой координат. Положение точки в этой сис-теме координат определяется длиной ρ  радиус-вектора точки, углом θ  между радиус-вектором точки и осью OZ, углом ϕ  между проекцией радиус-вектора точки на плоскость XOY  и осью OX.  Формулы перехода в координатной форме приобретают вид

 {x=ρcosϕsinθ,y=ρsinϕsinθ,z=ρcosθ. 

При этом 0ρ<,0ϕ<2π,0θπ. В векторной форме то же самое записывается в виде

 (xyz)=r(ρ,ϕ,θ)=(x(ρ,ϕ,θ)y(ρ,ϕ,θ)z(ρ,ϕ,θ))=(ρcosϕsinθρsinϕsinθρcosθ)= 

 =(ρcosϕsinθ)i+(ρsinϕsinθ)j+ρcosθk.

Сферическая система координат является ортогональной. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов

 rρ=(cosϕsinθ,sinϕsinθ,cosθ)T,

 rϕ=(ρsinϕsinθ,ρcosϕsinθ,0)T,

 rθ=(ρcosϕcosθ,ρsinϕcosθ,ρsinθ)T,

получаем требуемое. Коэффициенты Ламе для сферической системы координат равны hρ=1, hϕ=ρsinϕ, hθ=ρ. Координатными поверхностями в сферической системе координат являются сферы радиуса C1 

 (xyz)=(C1cosϕsinθC1sinϕsinθC1cosθ)=(C1cosϕsinθ)i+(C1sinϕsinθ)j+C1cosθk, получаемые при ρ=C1, полуплоскости

 (xyz)=(ρcosC2sinθρsinC2sinθρcosθ)=(ρcosC2sinθ)i+(ρsinC2sinθ)j+ρcosC2k, получаемые при ϕ=C2, выходящие из начала координат под углом C2  к оси OX, и конусы

 (xyz)=(ρcosϕsinC3ρsinϕsinC3ρcosC3)=(ρcosϕsinC3)i+(ρsinϕsinC3)j+ρcosC3k, получаемые при θ=C3, с образующими, выходящими из начала координат под углом C3  к оси OZ. В координатной, или что то же самое, в параметрической форме эти поверхности можно записать в виде {x=C1cosϕsinθ,y=C1sinϕsinθ,z=C1cosθ  в первом случае, {x=ρcosC2sinθ,y=ρsinC2sinθ,z=ρcosθ  во втором случае и {x=ρcosϕsinC3,y=ρsinϕsinC3,z=ρcosC3  в третьем случае. Получить уравнения координатных линий, являющихся пересечением координатных поверхностей, предлагается самостоятельно. Так как одной из координатных поверхностей является сфера, то система координат получила название сферической.

Второе обобщение полярной системы координат называется цилиндрической системой координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной ρ  проекции радиус-вектора точки на плоскость XOY, углом ϕ  между этой проекцией и осью OX,  координатой z. Формулы перехода в координатной форме приобретают вид

 {x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,z=z. 

При этом 0ρ<,0ϕ<2π,<z<. В векторной форме то же самое записывается в виде

 (xyz)=χ(ρ,ϕ,z)=(x(ρ,ϕ,z)y(ρ,ϕ,z)z(ρ,ϕ,z))=(ρcosϕρsinϕz)=(ρcosϕ)i+(ρsinϕ)j+zk.

Цилиндрическая система координат также ортогональна. Предлагается проверить это самим. Коэффициенты Ламе для цилиндрической системы координат равны hρ=1, hϕ=ρ, hz=1. Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат являются прямые круговые цилиндры радиуса C1 

 (xyz)=(C1cosϕC1sinϕz)=(C1cosϕ)i+(C1sinϕ)j+zk,

получаемые при ρ=C1, полуплоскости

 (xyz)=(ρcosC2ρsinC2z)=  (ρcosC2)i+(ρsinC2)j+zk,

получаемые при ϕ=C2,выходящие из начала координат под углом C2  к оси OX, и плоскости

 (xyz)=(ρcosϕρsinϕC3)=(ρcosϕ)i+(ρsinϕ)j+C3k,

параллельные плоскости XOY, получаемые при z=C3. В координатной, или что то же самое, в параметрической форме эти поверхности можно записать в виде {x=C1cosϕ,y=C1sinϕ,z=z  в первом случае, {x=ρcosC2,y=ρsinC2,z=z  во втором случае и {x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,z=C3  в третьем случае. Последнюю поверхность можно задать в виде z=C3. Получить уравнения координатных линий, являющихся пересечением координатных поверхностей, предлагается самостоятельно. Так как одной из координатных поверхностей является цилиндр, то система координат получила название цилиндрической.