Вычисление площадей плоских фигур

 

Из определения двойного интеграла следует, что площадь S(D)  плоской области D  выражается формулой S(D)=Ddxdy. Если область D  есть криволинейная трапеция, ограниченная линиями x=a,y=b,   y=y1(x),y=y2(x)  и для x[a,b]y1(x)y2(x), то

 S(D)=Ddxdy=abdxy1(x)y2(x)dy=ab(y2(x)y1(x))dx 

   формула площади области D, полученная нами в п. 2.6.1.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x,   y=5x,x=1.  Имеем S=01dxx5xdy=01(5xx)dx=4x22|01=2.