Вычисление площади поверхности

Пусть поверхность задана параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v), 

 (u,v)D, или в векторной форме

 (xyz)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.

Тогда площадь поверхности равна

 S=D|[ru(u,v),rv(u,v)]|dudv.

Пусть поверхность задана явно уравнением z=f(x,y),   (x,y)D. Всякую такую поверхность можно задать параметрически (взяв в качестве параметров x,y  ) или в векторной форме уравнением r=r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k. Тогда

 rx(x,y)=i+fx(x,y)k, ry(x,y)=j+fy(x,y)k,

 [rx(x,y),ry(x,y)]=|ijk10fx(x,y)01fy(x,y)|=fx(x,y)ify(x,y)j+k.

Поэтому |[rx(x,y),ry(x,y)]|=1+(fx(x,y))2+(fy(x,y))2, и площадь поверхности может быть найдена по формуле

 S=D1+(fx(x,y))2+(fy(x,y))2dxdy.

Пример 1. Вычислить площадь поверхности

 z=x2+y2,(x,y)D, если область D  задаётся неравенством x2+y216.

Решение

Пример 2. Вычислить площадь поверхности сферы.

Решение