]> 4

Поверхности в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию двух аргументов

 r(u,v)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T=  =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 

где i,j,k - векторы декартова базиса. Если функции x(u,v),  y(u,v),z(u,v) непрерывны и начала всех векторов r(u,v) поместить в начало координат, то их концы опишут в R3 некоторую поверхность, называемую годографом вектор-функции r(u,v), а вектор-функцию r(u,v) называют векторным представлением этой поверхности. Поверхность будем обозначать одной из букв S,σ. 

Поверхность назовем гладкой, если существуют непрерывные производные ru,rv и [ru,rv]0. Поверхность назовём кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число поверхностей, каждая из которых гладкая.

Фиксируя v, получаем кривую r(u,v0), и вектор ru направлен по касательной к этой кривой. Аналогично rv направлен по касательной к кривой r(u0,v) при фиксированном u. Поэтому ru и rv лежат в касательной плоскости к r(u,v) (если она существует). Тогда n=±[ru,rv] − вектор нормали к поверхности r(u,v). Фиксируя направление нормали ±n, фиксируем ориентацию поверхности.

Назовём поверхность двухсторонней, если нельзя перейти по поверхности непрерывным образом из точки в ту же точку, но с противоположным направлением нормали. В противном случае поверхность назовем односторонней. Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.

Мы будем иметь дело с двухсторонними поверхностями.