Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода

Кривую или поверхность будем называть многообразием.

Определение. Пусть задано непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ   функция F(x,y,z). Разобьем σ на части многообразиями меньшей размерности (кривую  точками, поверхность  кривыми) и внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M0(x0,y0,z0),  M1(x1,y1,z1),...,Mn(xn,yn,zn). Посчитаем значения функции в этих точках, умножим эти значения на меру данного элементарного многообразия (длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ   кривая, и поверхностным, если σ   поверхность) первого рода и обозначается в общем случае σF(x,y,z)dσ, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов LF(x,y,z)dl,  SF(x,y,z)dS соответственно.

Если кривая задана параметрически {x=x(t),y=y(t),z=z(t), или, что тo же самое, в векторной форме

 r(t)=(x(t)y(t)z(t))=(x(t),y(t),z(t))T=x(t)i+y(t)j+z(t)k, 

 t[α,β], то dl=(xt)2+(yt)2+(zt)2dt и поэтому криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 LF(x,y,z)dl=αβF(x(t),y(t),z(t))(xt)2+(yt)2+(zt)2dt.

В случае плоской кривой

 r(t)=(x(t)y(t))=(x(t),y(t))T=x(t)i+y(t)j ( t[α,β] )

эта формула приобретает вид

 LF(x,y)dl=αβF(x(t),y(t))(xt)2+(yt)2dt. 

Пусть плоская кривая задана явно уравнением y=f(x),x[a,b]. Всякую такую кривую можно считать заданной параметрически {x=x,y=f(x), взяв в качестве параметра x. Тогда последняя формула приобретает вид

 LF(x,y)dl=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx. 

Для поверхности, заданной параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v), или, что то же самое, в векторной форме

 r(u,v)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T=  x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k,(u,v)D, 

 dS=|[ru,rv]|dudv  и поэтому поверхностный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 SF(x,y,z)dS=DF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|[ru,rv]|dudv. 

Если поверхность задана явно уравнением z=ϕ(x,y), то dS=1+(ϕx(x,y))2+(ϕy(x,y))2dxdy, и последняя формула приобретает вид

 SF(x,y,z)dS=DF(x,y,ϕ(x,y))1+(ϕx)2+(ϕy)2dxdy,

где D - проекция поверхности S на плоскость XOY.

Теорема. Величина криволинейного (поверхностного) интеграла первого рода не изменяется при изменении ориентации кривой (поверхности), то есть

 σF(x,y,z)dσ=σF(x,y,z)dσ. 

Доказательство. Докажем теорему для криволинейного интеграла и кривой, заданной параметрически. Введем новый параметр τ по формуле t=b+aτ. Тогда

 r(t)=r(b+aτ)=x(b+aτ)i+y(b+aτ)j+z(b+aτ)k.

Поэтому

 γF(x,y,z)dl=abF(x(t(τ)),y((t(τ)),z(t(τ))r(t(τ))dτ==baF(x(t),y(t),z(t))r(t)dt=γF(x,y,z)dl, 

где r(t(τ))=(x(t(τ))2+(y(t(τ)))2+(z(t(τ)))2,

 r(t)=(x(t)2+(y(t))2+(z(t))2. Теорема доказана.

Примеры

1.        Вычислить γydl, где а) γ − парабола y=2x, 0x1; б) γ − прямая, соединяющая точки (0, 0) и (1, 1).

 а)γydl=012x1+((2x))2dx=012xx+1xdx=012x+1dx=43(x+1)32|01=43(221). 

 б)γydl=01x1+(1)2dx=2x22|01=22. 

2.        Вычислить γx2+y2dl вдоль кривой {x=asint,y=acost, 

если t[0,π]. 

Имеем

 γx2+y2dl=0πaa2cos2t+a2sin2tdt=0πa2dt=a2π. 

3. Вычислить поверхностный интеграл S(z+2x+43y)dS, если поверхность S есть часть плоскости x2+y3+z4=1, лежащая в первом октанте.

Эта поверхность задаётся явно уравнением z=4(1x2y3). Тогда zx=2,zy=43,1+(zx)2+(zy)2=613. Проекция поверхности на плоскость XOY есть треугольник D, ограниченный кривыми x=0,y=0,x2+y3=1. Поэтому

 S(z+2x+43y)dS=D(4(1x2y3)+2x+43y)613dxdy= 

 =461302dx03(1x2)dy=4613023(1x2)dx=461(xx24)|02=461.