Кривые на плоскости и в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию одного аргумента

 r(t)=(x(t)y(t)z(t))=(x(t),y(t),z(t))T=x(t)i+y(t)j+z(t)k, 

где i,j,k     векторы декартова базиса. В случае плоскости эта запись приобретает вид r(t)=x(t)i+y(t)j. Если функции x(t),y(t),z(t)  непрерывны при t[α,β]  и начала всех векторов r(t)  поместить в начало координат, то их концы опишут в R3  некоторую кривую, называемую годографом вектор-функции r(t), а вектор-функцию r(t)  называют векторным представлением этой кривой. Эта функция широко используется в физике для описания движения материальной точки M, так как, чтобы знать положение точки в момент времени t,  необходимо указать координаты этой точки как функции времени, т.е. задать ее в виде M(x(t),y(t),z(t)). Например, функция

 r(t)=acosti+asintj+btk 

определяет движение точки по винтовой линии, а функция

 r(t)=acosti+asintj 

   движение точки по окружности. Зафиксировав момент времени t=t0, мы найдем положение точки в этот момент.

Кривую r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k  назовем гладкой на [α,β],  если существует r(t)  и r(t)0  для всех t[α,β]. Непрерывную кривую назовем кусочно-гладкой на [α,β],  если отрезок [α,β]  можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых кривая гладкая.

Кривую будем обозначать одной из букв Γ,γ,L. Будем говорить, что кривая замкнута, если r(α)=r(β). Если существуют значения t1,t2(α,β)  параметра такие, что r(t1)=r(t2), то кривая имеет самопересечения, если таких значений t1, t2 нет, то кривая без самопересечений.

Будем говорить, что кривая ориентирована, если задан порядок следования точек по этой кривой при возрастании параметра от α  к β. Ориентацию кривой можно сменить, введя новый параметр, например, по формуле τ=β+αt.  Замкнутую кривую на плоскости ориентируют обычно так, чтобы при обходе кривой против часовой стрелки область, ограничиваемая этой кривой, оставалась слева.

Для гладкой кривой ориентация определяется естественным образом выбором единичного направляющего вектора касательной, так как в этом случае имеет место следующий результат.

Теорема 4.1. В каждой точке гладкой кривой существует касательная. Производная r(t)  направлена по этой касательной в сторону возрастания параметра.