Поверхности в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию двух аргументов

 r(u,v)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T=   =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k,

где i,j,k     векторы декартова базиса. Если функции x(u,v),   y(u,v),z(u,v)  непрерывны и начала всех векторов r(u,v)  поместить в начало координат, то их концы опишут в R3  некоторую поверхность, называемую годографом вектор-функции r(u,v), а вектор-функцию r(u,v)  называют векторным представлением этой поверхности. Поверхность будем обозначать одной из букв S,σ.

Поверхность назовем гладкой, если существуют непрерывные производные ru,rv  и их векторное произведение [ru,rv]  не равно нулю ( [ru,rv]0  ). Непрерывную поверхность назовём кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число поверхностей, каждая из которых гладкая.

Фиксируя v, получаем кривую r(u,v0), и вектор ru  направлен по касательной к этой кривой. Аналогично rv  направлен по касательной к кривой r(u0,v)  при фиксированном u.  Поэтому ru  и rv  лежат в касательной плоскости к r(u,v)  (если она существует). Тогда n=±[ru,rv]  − вектор нормали к поверхности r(u,v). Фиксируя направление нормали ±n,  фиксируем ориентацию поверхности.

Назовём поверхность двухсторонней, если нельзя перейти по поверхности непрерывным образом из точки в ту же точку, но с противоположным направлением нормали. В противном случае поверхность назовем односторонней. Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса. Модель листа Мёбиуса можно получить, если склеить полоску бумаги, предварительно повернув одну из коротких сторон на 180o. Мы будем иметь дело с двухсторонними поверхностями.