Определение криволинейного и поверхностного интегралов первого рода

Кривую или поверхность будем называть многообразием.

Определение. Пусть задано непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ  и на σ     скалярнозначная функция F(x,y,z). Разобьем σ  на части многообразиями меньшей размерности (кривую   точками, поверхность   кривыми) и внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M0(x0,y0,z0),   M1(x1,y1,z1),...,Mn(xn,yn,zn). Посчитаем значения функции в этих точках, умножим эти значения на меру Δσi  данного элементарного многообразия (длину Δli  или площадь ΔSi  соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм i=0nF(xi,yi,zi)Δσi, если он существует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ     кривая, и поверхностным, если σ     поверхность) первого рода и обозначается в общем случае σF(x,y,z)dσ, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов LF(x,y,z)dl,  SF(x,y,z)dS  соответственно.