Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода

Пусть кривая задана параметрически {x=x(t),y=y(t),z=z(t),  или, что тo же самое, в векторной форме

 r(t)=(x(t)y(t)z(t))=(x(t),y(t),z(t))T=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  t[α,β].

Тогда криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 LF(x,y,z)dl=αβF(x(t),y(t),z(t))(xt)2+(yt)2+(zt)2dt.

В случае плоской кривой

 r(t)=(x(t)y(t))=(x(t),y(t))T=x(t)i+y(t)j  ( t[α,β]  )

эта формула приобретает вид

 LF(x,y)dl=αβF(x(t),y(t))(xt)2+(yt)2dt.

Если плоская кривая задана явно уравнением y=f(x),x[a,b], то криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 LF(x,y)dl=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx.

Для поверхности, заданной параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),  или, что то же самое, в векторной форме

 r(u,v)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T=   =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k,(u,v)D, 

поверхностный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 SF(x,y,z)dS=DF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|[ru,rv]|dudv,

где [ru,rv]    векторное произведение векторов

 ru(u,v)=xu(u,v)i+yu(u,v)j+zu(u,v)k=(xu(u,v),yu(u,v),zu(u,v))T, rv(u,v)=xv(u,v)i+yv(u,v)j+zv(u,v)k=(xv(u,v),yv(u,v),zv(u,v))T,

вычисляемое по формуле

 [ru,rv]=|ijkxuyuzuxvyvzv|=|yuzuyvzv|i|xuzuxvzv|j+|xuyuxvyv|k,

а |[ru,rv]|    длина этого вектора, находимая по формуле

 |[ru,rv]|=|yuzuyvzv|2+|xuzuxvzv|2+|xuyuxvyv|2.

Пусть поверхность задана явно уравнением z=ϕ(x,y),   (x,y)D. Тогда поверхностный интеграл первого рода вычисляется по формуле

 SF(x,y,z)dS=DF(x,y,ϕ(x,y))1+(ϕx)2+(ϕy)2dxdy,

где D     проекция поверхности S  на плоскость XOY.

Теорема 4.2. Величина криволинейного (поверхностного) интеграла первого рода не изменяется при изменении ориентации кривой (поверхности), то есть

 σF(x,y,z)dσ=σF(x,y,z)dσ. 

Пример 1. Вычислить γydl, где а) γ − парабола y=2x, 0x1;  б) γ − прямая, соединяющая точки (0, 0) и (1, 1).

 а)γydl=012x1+((2x))2dx=012xx+1xdx=012x+1dx=  =43(x+1)32|01=43(221).

 б)γydl=01x1+(1)2dx=2x22|01=22. 

Пример 2. Вычислить γx2+y2dl  вдоль кривой {x=asint,y=acost, 

если t[0,π].

Имеем

 γx2+y2dl=0πaa2cos2t+a2sin2tdt=0πa2dt=a2π. 

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл

 S(z+2x+43y)dS,  если поверхность S  есть часть плоскости x2+y3+z4=1,  лежащая в первом октанте.

Эта поверхность задаётся явно уравнением z=4(1x2y3). Тогда zx=2,zy=43,1+(zx)2+(zy)2=613.  Проекция поверхности на плоскость XOY  есть треугольник D, ограниченный кривыми x=0,y=0,x2+y3=1.  Поэтому

 S(z+2x+43y)dS=D(4(1x2y3)+2x+43y)613dxdy= 

 =461302dx03(1x2)dy=4613023(1x2)dx=461(xx24)|02=461.