Определение

Рассмотрим многообразие σ.  Пусть τ(x,y,z)     единичный вектор касательной к σ  в точке (x,y,z), если σ     кривая, а n(x,y,z)     единичный вектор нормали к σ  в точке (x,y,z), если σ     поверхность в R3.  Рассмотрим элементарный участок σ  и выберем точку на нём. Введём векторы dl¯=τdl  и dS¯=ndS,  где dl  и dS     длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности, а τ  и n  вычислены в выбранной точке. Будем считать, что dσ¯=dl,¯  если σ     кривая, и dσ¯=dS,¯  если σ     поверхность. Назовём dσ¯  ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение любого интеграла строится по одной и той же схеме. Поэтому, в принципе, можно дать одно определение всех интегралов сразу. Дадим вначале совместное определение криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ  и на σ     вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k. Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую   точками, поверхность   кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M1(x1,y1,z1),  M2(x2,y2,z2),...,   Mn(xn,yn,zn). Посчитаем значения F(xi,yi,zi),   i=1,2,...,n,  вектор-функции в этих точках, умножим скалярно (вычислим скалярное произведение) эти значения на ориентированную меру dσi¯  данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм i=1n(F(xi,yi,zi),dσi¯),  если он существует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ     кривая и поверхностным, если σ     поверхность) второго рода, интегралом вдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F  вдоль σ, и обозначается в общем случае σ(F(x,y,z),dσ¯), в случаях криволинейного и поверхностного интегралов L(F(x,y,z),dl¯), S(F(x,y,z),dS¯)  соответственно.

Для лучшего усвоения дадим теперь отдельно определения криволинейного интеграла второго рода и поверхностного интеграла второго рода.

Определение. Пусть задана ориентированная непрерывная кусочно-гладкая кривая Γ и на Γ    вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+  Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.  Разобьем кривую на части точками, внутри каждого полученного элементарного участка кривой выберем по точке M1(x1,y1,z1),  M2(x2,y2,z2),...,  Mn(xn,yn,zn). Найдем значения F(xi,yi,zi),   i=1,2,...,n, вектор-функции в этих точках, умножим скалярно эти значения на ориентированную длину dl¯  данного элементарного участка кривой и просуммируем. Предел полученных сумм i=1n(F(xi,yi,zi),dli¯),  если он существует, не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точек внутри каждого элементарного участка, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется криволинейным интегралом второго рода, или интегралом от вектора F  вдоль l, и обозначается L(F(x,y,z),dl¯).

Определение. Пусть задана ориентированная непрерывная кусочно-гладкая поверхность S  и на S     вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+  Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.  Разобьем поверхность на части кривыми, внутри каждого полученного элементарного участка поверхности выберем по точке M1(x1,y1,z1),  M2(x2,y2,z2),...,  Mn(xn,yn,zn). Найдем значения F(xi,yi,zi),   i=1,2,...,n, вектор-функции в этих точках, умножим скалярно эти значения на ориентированную площадь dS¯  данного элементарного участка поверхности и просуммируем. Предел полученных сумм i=1n(F(xi,yi,zi),dSi¯),  если он существует, не зависит от способа разбиения поверхности на части и выбора точек внутри каждого элементарного участка, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется поверхностным интегралом второго рода, или интегралом от вектора F  вдоль S, и обозначается S(F(x,y,z),dS¯).

Заметим, что здесь реализован один из подходов к определению криволинейного и поверхностного интегралов второго рода. Альтернативным является подход, при котором вначале даётся определение криволинейного или поверхностного интегралов от скалярной функции по проекции, соответственно, на координатную ось (криволинейные интегралы LP(x,y,z)dx, LQ(x,y,z)dy, LR(x,y,z)dz  ) или плоскость (поверхностные интегралы SP(x,y,z)dydz, SQ(x,y,z)dxdz, SR(x,y,z)dxdy  )). Просуммировав определённые так интегралы, получим в результате то же самое скалярное произведение.