Общие сведения

Предварительно рекомендуется изучить п. 5.1 учебного пособия [5].

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

F(x,y,y)=0.  (5.1)

Уравнение (5.1) называется уравнением, разрешенным относительно производной, если его можно записать в виде

  y=f(x,y) (5.2)

или, что то же самое, в так называемой дифференциальной форме:

  M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. (5.3)

Функции f(x,y),M(x,y),N(x,y)предполагаются заданными на некотором множестве Dплоскости R2.

Определение. Функция ϕ(x), заданная на отрезке или интервале (a,b), называется решением дифференциального уравнения в области D, если при подстановке ϕ(x)в уравнение она обращает его в тождество в этой области.

Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит в преобразовании его к такому виду, из которого это решение легко находится. При этом два уравнения F1(x,y,y)=0 и F2(x,y,y)=0 назовем эквивалентными в области D, если решения одного из них являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям. Это не всегда удается. Поэтому, в процессе преобразований, мы должны следить, чтобы не терять решений и не приобретать новых.

Большинство методов решений дифференциальных уравнений заключается в сведении их к уравнению вида

  f1(x)dx=f2(y)dy, (5.4)

которое очень просто решается. Действительно, если y(x)есть решение этого уравнения, то, в силу инвариантности формы первого дифференциала, можем записать f1(x)dx=f2(y)dy. Равенство подразумевает, что множество всех первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если Φ1(x)− какая-нибудь первообразная левой части, а Φ2(y)− правой части, то последнее соотношение можно переписать в виде равенства Φ1(x)=Φ2(y)+C, разрешая которое относительно y, получаем всю совокупность решений уравнения (5.4).

Множество решений дифференциального уравнения y=f(x,y)есть некоторое семейство функций, зависящее от константы. Для уравнения первого порядка требования, при выполнении которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, формулируются следующим образом.

Найти решения дифференциального уравнения

y=f(x,y),

удовлетворяющие условиям

  y(x0)=y0. (5.5)

Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши, задачей Коши.

Условия разрешимости задачи Коши приведены в теореме существования и единственности [5]. Приведём эту теорему с легче проверяемыми, но более жёсткими, чем в [5] условиями на функцию f(x,y).

Теорема (существования и единственности). Пусть в уравнении (5.2) y=f(x,y)функция f(x,y), заданная в области Dна плоскости, непрерывна по совокупности переменных x,yи имеет непрерывную производную по y. Тогда для любой точки (x0,y0)Dсуществуют интервал (x0λ,x0+λ)и функция y=ϕ(x), заданная на этом интервале так, что y=ϕ(x)есть решение уравнения (5.2), удовлетворяющее условию (5.5). Это решение единственно в том смысле, что если y=φ(x)есть решение уравнения (5.2), определенное на интервале (α,β), включающем в себя точку x0, и удовлетворяющее условию (5.5), то функции ϕ(x)и φ(x)совпадают там, где они обе определены.

При выполнении этих условий через точку (x0,y0)Dпроходит только одно решение уравнения (5.2). Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через нее может проходить больше, чем одно решение (нарушается единственность), либо не проходить ни одного решения (нарушается существование).

Определение. Семейство y=ϕ(x,C)решений дифференциального уравнения (5.3) назовем его общим решением, если для любого набора начальных данных (x0,y0)Dнайдется константа C¯, на которой этот набор реализуется, то есть такая, что для решения y=ϕ(x,C¯)выполнены начальные условия y0=ϕ(x0,C¯).