Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида

  y=f1(x)f2(y), (5.6)

или

 M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0 (5.7)

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

При f2(y)0для y[c,d], разделив обе части (5.6) на f2(y), получаем уравнение вида (5.4)

dyf2(y)=f1(x)dx,

решать которое мы умеем.

Аналогично, для уравнения (5.7), если M2(y)0,N1(x)0x[a,b],y[c,d],получаем уравнение вида (5.4)

N2(y)M2(y)dy=M1(x)N1(x)dx.

Заметим, что если f2(y0)=0, или M2(y0)=0,N1(x0)=0, то мы должны проверить, являются ли функции y=y0,x=x0решениями исходного дифференциального уравнения, чтобы не потерять их в процессе нахождения решения.

Уравнение y=f(ax+by+c)сводится к уравнению с разделяющимися переменными либо заменой z=ax+by+c, либо заменой z=ax+by.

5.1. Для уравнения y=e2x+3yимеем y=e2xe3y, откуда e3ydy=e2xdx или, интегрируя обе части, 13e3y=12e2x+C и, наконец, y=13ln(32e2x+C).

5.2. Решить уравнение xydx(x29)dy=0. В предположении, что y(x29)0,получаем dyy=xdxx29или, интегрируя, ln|y|=12ln|x29|+ln|C|, отсюда y=Cx29. Решение y = 0 получается при C = 0, а решения x=±3не содержатся в нем. Таким образом, решение уравнения y=Cx29,x=±3.

5.3. Решить уравнение (e3x+10)dy=ye3xdx. В предположении, что y0,получаем dyy=e3xdxe3x+10или, интегрируя, ln|y|=13ln(e3x+10)+ln|C|, отсюда y=Ce3x+103. Решение y = 0 получается при C=0.

5.4. Решить уравнение y=(9x+4y5)2. Делаем замену z=9x+4y5. Тогда z=9+4yи, подставляя в исходное уравнение, получаем z=4z2+9или, разделяя переменные, dz4z2+9=dx. Интегрируя последнее, имеем arctg2z3=6x+C, или z=32tg(6x+C). Делая обратную замену, получаем 9x+4y5=32tg(6x+C)или, разрешая относительно y, y=14(32tg(6x+C)9x+5).