Уравнения с правой частью пециального вида

Как было показано ранее, общее решение yон линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения yоо соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и какого  либо частного решения yчн исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто. Займёмся этим вопросом.

Функцию b(x)=j=1kPj(x)eλjx, где Pj(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если yj,j=1,2,...,m, - решения уравнений L(y)=bj(x), то y=j=1mαjyj есть решение уравнения L(y)=j=1mαjbj(x). Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y)=b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x)=P(x)eλx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

 b(x)=eαx(P(x)cosβx+Q(x)sinβx), (5.39)

у которой P(x) и Q(x) - некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

 L(y)=k=0naky(k)=any(n)+an1y(n1)+...+a1y+a0=b(x) 

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (5.39) имеет частное решение

 y(x)=xkeαx(R(x)cosβx+S(x)sinβx),

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x),S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x),Q(x).

Доказательство этого результата опустим.

Примеры

1. Для уравнения y4y+5y2y=2x+3 корнями характеристического уравнения r34r2+5r2=0 являются r=2 кратности 1 и r=1 кратности 2. Следовательно, α+βi=0 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0 и частное решение ищем в виде y=cx+d. Так как y=c,y=0,y=0, то, подставляя в уравнение, получаем 5c2cx2d=2x+3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем 2c=2,5c2d=3. Следовательно, c=1,d=4 и y=x4 - частное, а y=x4+C1ex+C2xex+C3e2x - общее решения уравнения.

2. Для уравнения y4y+5y2y=(2x+3)e2x число α+βi=2 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(cx+d)e2x. 

3. Для уравнения y+y=cosx корнями характеристического полинома r2+1 являются числа r=±i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a1cosx+a2sinx). Тогда

 y=(a1+a2x)cosx+(a2a1x)sinx, 

 y=(2a2a1x)cosx+(2a1a2x)sinx.

Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 2a2cosx2a1sinx=cosx, откуда a1=0,a2=0,5. Следовательно, y=0,5xsinx - частное, y=0,5xsinx+C1cosx+C2sinx - общее решения уравнения.

4. Для уравнения y7y6y=2x+3 корнями характеристического уравнения r37r6=0 являются числа 2,1,3. Числа α+βi=0 среди этих корней нет. Поэтому частное решение ищем в виде y=cx+d.

5. Для уравнения y+4y=sin2x корнями характеристического полинома r2+4 являются числа r=±2i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a1cos2x+a2sin2x).