Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.5 из пособия [5].

Алгоритм метода следующий:

1) находим фундаментальную систему решений y1,y2,...,ynсоответствующего однородного уравнения;

2) ищем решение неоднородного уравнения в виде

y(x)=C1(x)y1+C2(x)y2+...+Cn(x)yn=j=1nCj(x)yj,

где C1(x),C2(x),...,Cn(x)функции, подлежащие определению; для нахождения функций Cj(x)составляем систему алгебраических уравнений

{j=1nCj(x)yj=0,j=1nCj(x)yj=0,................................j=1nCj(x)yj(n1)=b(x)an(x),an(x)0.

Для n=2, то есть для уравнения второго порядка, эта система уравнений приобретает вид

{C1y1+C2y2=0,C1y1+C2y2=b(x)a2(x),

а для n=3система записывается в виде

{C1y1+C2y2+C3y3=0,C1y1+C2y2+C3y3=0,C1y1+C2y2+C3y3=b(x)a3(x).

Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

5.128. Найдем общее решение уравнения y+y6y=5e2xe2x+9. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y+y6y=0. Корни его характеристического уравнения r2+r6=0равны 2и 3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1=e2xи y2=e3x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C1(x)e2x+C2(x)e3x. Для нахождения производных C1,C2составляем систему уравнений

{C1e2x+C2e3x=0,2C1e2x3C2e3x=5e2xe2x+9.

Умножая первое уравнение на 3 и складывая результат со вторым, получаем 5C1e2x=5e2xe2x+9или C1=1e2x+9. Далее, умножая первое уравнение на 2 и вычитая из второго, имеем 5C2e3x=5e2xe2x+9или C2=e5xe2x+9. Интегрируя, получаем

C1=dxe2x+9=e2x1+9e2xdx=12d(e2x)1+9e2x=118ln(1+9e2x)+C¯1,C2=e5xe2x+9dx=e3x(e2x+99)e2x+9dx=e3xdx+9e3xe2x+9dx==13e3x+9ex(e2x+99)e2x+9dx=13e3x+9exdx81exe2x+9dx==13e3x+9ex27arctgex3+C¯2.

Подставляя C1и C2в выражение для y, окончательно находим

y=118e2xln(1+9e2x)13+9e2x27e3xarctgex3++C¯1e2x+C¯2e3x.

5.129. Найдем общее решение уравнения y2yy+2y=27e2x+9. Корни характеристического полинома r32r2r+2соответствующего однородного уравнения равны 1,1,2. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1=ex,y2=ex,y3=e2x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C1(x)ex+C2(x)ex+C3(x)e2x. Для нахождения производных C1,C2,C3составляем систему уравнений

{C1ex+C2ex+C3e2x=0,C1ex+C2ex+2C3e2x=0,C1ex+C2ex+4C3e2x=27e2x+9.

Вычитая из третьего уравнения первое, получаем 3C3e2x=27e2x+9или C3=9e2x(e2x+9). Складывая первое и второе уравнения, имеем 2C2ex+3C3e2x=0или C2=32C3ex. Подставляя найденное ранее C3, окончательно получаем C2=272ex(e2x+9). Вычитая из первого уравнения второе, имеем 2C1exC3e2x=0или C1=12C3e3x. Подставляя найденное ранее C3, окончательно получаем C1=9ex2(e2x+9). Интегрируя полученные функции, имеем

C1=92exe2x+9dx=92d(ex)(ex)2+32=32arctgex3+C¯1,C2=272dxex(e2x+9)=272e3xdx1+9e2x==2729ex(9e2x+11)dx1+9e2x=32exdx+32ex1+9e2xdx=

=32ex12arctg(3ex)+C¯2,C3=9dxe2x(e2x+9)=

=(1e2x1e2x+9)dx=12e2x1e2x+9dx==12e2xe2x1+9e2xdx=12e2x+118ln(1+9e2x)+C¯3.

Подставляя C1,C2,C3в выражение для yокончательно находим

y=32e-xarctgex312exarctg(3ex)+1++118e2xln(1+9e2x)+C¯1ex+C¯2ex+C¯3e2x.

5.130. Решить задачу Коши y+16y=4cos34x,y(0)=1,y(0)=1. Найдем вначале общее решение уравнения. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y+16y=0. Корни его характеристического уравнения r2+16=0равны ±4i. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1=cos4xи y2=sin4x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C1(x)cos4x+C2(x)sin4x. Для нахождения производных C1,C2составляем систему уравнений

{C1cos4x+C2sin4x=0,4C1sin4x+4C2cos4x=4cos34x

или, что то же самое,

{C1cos4x+C2sin4x=0,C1sin4x+C2cos4x=1cos34x.

Умножая первое уравнение на cos4x, второе на sin4xи вычитая из полученного первого полученное второе, находим C1=sin4xcos34x. Далее, умножая первое уравнение на sin4x, второе на cos4xи складывая результаты, имеем C2=1cos24x. Интегрируя полученные функции, получаем C1=18cos24x+C¯1,C2=14tg4x+C¯2. Подставляя C1и C2в выражение для y, находим общее решение неоднородного уравнения y(x)=18cos4x+sin24x4cos4x+C¯1cos4x+C¯2sin4x.

Находим y(x)=sin4x2cos24x+2sin4xcos24x+sin34xcos24x4C¯1sin4x+4C¯2cos4x. Тогда начальные условия запишутся в виде

{y(0)=18+C¯1=1,y(0)=4C¯2=1.

Из последнего получаем C¯1=98,C¯2=14. Подставляя эти значения в общее решение неоднородного уравнения, находим решение задачи Коши

y(x)=18cos4x+sin24x4cos4x+98cos4x14sin4x.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения:

5.131. y25y=10e5x4+e5x; 5.132. y2y3y=49+e2x;

5.133. y6y+12y8y=e2xx2+4; 5.134. y+9y=3tg23x;

5.135. y+10y+25y=e5xx22x+1; 5.136. y+2y+10y=3exsin3x;

5.137. y6y+25y=4e3xtg4x; 5.138. y+4y=4tg2x.

Решить задачу Коши:

5.139. y16y=81+e4x,y(0)=14,y(0)=2ln2;

5.140. y6y+9y=e3xx5,y(1)=e312,y(1)=e3;

5.141. y+4y=2cos32x,y(0)=2,y(0)=2;

5.142. y+5y+6y=ex,y(0)=1,y(0)=1.