Уравнения с правой частью специального вида

Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.6 из пособия [5].

Теорема (о виде общего решения линейного неоднородного уравнения). Общее решение yонлинейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x)есть сумма общего решения yоосоответствующего однородного уравнения L(y)=0и какого- либо частного решения yчнисходного неоднородного уравнения.

Для уравнений с постоянными коэффициентами

L(y)=k=0naky(k)=any(n)+an1y(n1)+...+a1y+a0=b(x)

и правой частью b(x)=eαx(P(x)cosβx+Q(x)sinβx), у которой P(x)и Q(x)− некоторые полиномы, частное решение может быть найдено в виде

y(x)=xkeαx(R(x)cosβx+S(x)sinβx),

где R(x),S(x)− полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x),Q(x),k− число, равное кратности корня α+βiхарактеристического полинома соответствующего однородного уравнения, если α+βi− корень этого полинома и k=0, если α+βiне является корнем характеристического полинома.

5.143. Для уравнения y7y+15y9y=9x+3корнями характеристического уравнения r37r2+15r9=0являются r=1кратности 1 и r=3кратности 2. Так как правая часть может быть записана в виде (9x+3)e0x(cos(0x)+sin(0x)), то α=0,β=0и, следовательно, α+βi=0не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0и частное решение ищем в виде y=cx+d. Так как y=c,y=0,y=0, то, подставляя в уравнение, получаем 15c9cx9d=9x+3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем 9c=9,15c9d=3. Решая эту систему, получаем c=1,d=2, и поэтому y=x2− частное, а y=x2++C1ex+C2e3x+C3xe3x− общее решения уравнения.

5.144. Для уравнения y7y+15y9y=(9x+3)exправая часть может быть записана в виде (9x+3)ex(cos(0x)+sin(0x)), следовательно, α=1,β=0, и число α+βi=1является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому k=1и частное решение ищем в виде y=x(cx+d)ex.

5.145. Для уравнения y+9y=12sin3xкорнями характеристического полинома r2+9являются числа r=±3iкратности один. Правая часть этого уравнения может быть записана в виде 12sin3x=e0x(0cos3x+12sin3x), поэтому α=0,β=3, следовательно, α+βi=3iявляется корнем кратности 1 характеристического полинома. Поэтому k=1и частное решение ищем в виде y=x(a1cos3x+a2sin3x). Тогда

y=(a1+3a2x)cos3x+(a23a1x)sin3x,y=(6a29a1x)cos3x+(6a19a2x)sin3x.

Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 6a2cos3x6a1sin3x=12sin3x, откуда a1=2,a2=0. Следовательно, y=2xcos3x− частное, а y=2xcos3x++C1cos3x+C2sin3x− общее решения уравнения.

5.146. Для уравнения y4y+y+6y=4x+7корнями характеристического уравнения r34r2+r+6=0являются числа 1,2,3. Так как правая часть может быть записана в виде (4x+7)e0x(cos(0x)+sin(0x)), то α=0,β=0и, следовательно, α+βi=0не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0и частное решение ищем в виде y=cx+d.

5.147. Для уравнения y+9y=cos4xкорнями характеристического полинома r2+9являются числа r=±3iкратности один. Правая часть этого уравнения может быть записана в виде cos4x=e0x(cos4x+0sin4x), поэтому α=0,β=4, следовательно, α+βi=4iне является корнем характеристического полинома. Поэтому k=0и частное решение ищем в виде y=a1cos4x+a2sin4x.

5.148. Для уравнения

y4y+y+6y=x2ex+excos3x+xe5x

записать частное решение с неопределенными коэффициентами.

По теореме о наложении решений, частным решением данного уравнения является функция y=y1+y2+y3, где y1частное решение уравнения с правой частью f1(x)=x2ex,y2частное решение уравнения с правой частью f2(x)=excos3x,y3частное решение уравнения с правой частью f3(x)=xe5x. Корнями характеристического полинома соответствующего однородного уравнения являются числа - 1, 2, 3. Для правой части f1число α+βi=1является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому y1=x(ax2+bx+c)ex. Для правой части f2число α+βi=1+3iне является корнем характеристического уравнения, следовательно, y2=(dcos3x+gsin3x)ex. Для правой части f3число α+βi=5не является корнем характеристического уравнения, поэтому y3=(hx+t)e5x.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения:

5.149. y7y+6y=(3x+1)ex; 5.150. y7y+6y=(2x+3)e2x;

5.151. y5y+6y=xcos2x+(5x52)sin2x;

 5.152. y+6y+25y=e3x(2x5).

5.153. y2y+10y=exsin3x; 5.154. y+4y+20y=17sin4x;

5.155. y+3y+2y=3x2ex; 156. y4y+4y=cosx+2sinx.

Решить задачу Коши:

5.157. y+25y=xcos5x+sin5x,y(0)=1,y(0)=2;

5.158. y6y+45y=excosx,y(0)=391537,y(0)=41537.

Записать частное решение с неопределенными коэффициентами для уравнения

5.159. y+16y=(x2+3x)ex+xexcos4x+sin4x;

5.160. y6y+25y=(x+3)ex+xe3xcos4x+sin5x.