Системы линейных уравнений

Если в системе (5.40) все функции fi линейны по пере-менным y1,y2,...,yn, то она называется линейной. В этом случае её можно переписать в виде

  {y1=a11(x)y1+a21(x)y2+...+an1(x)yn+b1(x),y2=a12(x)y1+a22(x)y2+...+an2(x)yn+b2(x),..........................................................................yn=a1n(x)y1+a2n(x)y2+...+ann(x)yn+bn(x). 5.42

Обозначая матрицу системы через A(x), а вектор (b1(x),b2(x),...,bn(x))T через b(x), систему (5.42) можем переписать в матричной форме

 y=A(x)y+b(x). (5.42а)

Будем, по возможности, пользоваться матричной формой записи. Если b(x)=0, то получаем соответствующую систему однородных уравнений

  y=A(x)y.5.43

Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности, справедлива теорема о наложении решений и её следствия. В том числе и теорема о том, что множество решений однородной системы (5.43) образует линейное подпространство в пространстве дифференцируемых вектор-функций. Сформулируем и по возможности докажем эти результаты.

Так же, как для векторов [1,2] и систем скалярных функций, для систем вектор-функций вводятся понятия их линейной зависимости и линейной независимости.

Определение. Система вектор-функций y1,y2,...,ym называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если существуют числа α1,α2,...,αm, не все из которых равны нулю, такие, что

 α1y1+α2y2+...+αmym=i=1mαiym=0 

всюду на [a,b], и линейно независимой, если такого ненулевого набора не существует.

Рассмотрим совокупность вектор-функций y1,y2,...,yn. Определитель, составленный из их координат,

 W(x)=|y11y21yn1y12y22yn2y1ny2nynn| 

называется определителем Вронского, или вронскианом системы вектор-функций y1,y2,...,yn.

Так же, как и для систем скалярных функций, определитель Вронского системы вектор-функций служит индикатором её линейной зависимости или линейной независимости.

Теорема. Если система вектор-функций линейно зависима, то её определитель Вронского W(x) равен нулю.

Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем векторов [1,2] и систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается сделать это самостоятельно.

Теорема. Если y1,y2,...,yn - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y=A(x)y, то её определитель Вронского W(x) отличен от нуля для всех x[α,β].

Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается доказать эту теорему самостоятельно.

Удостоверимся в существовании базиса в пространстве решений системы уравнений y=A(x)y.

Теорема. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений y=A(x)y порядка n существует система n линейно независимых решений этого уравнения.

Доказательство. Возьмём матрицу

  (q11q21qn1q12q22qn2q1nq2nqnn) 5.44

с определителем, отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы. Найдём такие решения yj(x),j=1,2,...n, системы уравнений y=A(x)y, чтобы выполнялись соотношения ykj(x0)=qkj,k=1,2,...n. По теореме существования и единственности такой набор решений существует. Найденная система решений линейно независима, так как её определитель Вронского в точке x0 совпадает с определителем матрицы (5.44). Теорема доказана.

Матрицу (5.44) можно взять единичную.

Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y1,y2,...,yn - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y=A(x)y, то любое решение этой системы есть линейная комбинация решений y1,y2,...,yn, то есть

 y(x)=j=1nCjyj(x) 

и, следовательно, y1,y2,...,yn - базис пространства решений системы уравнений y=A(x)y.

Доказательство. Нам нужно доказать, что для любого набора начальных данных (5.41) (y1(x0),y2(x0),...,yn(x0))T=  =(y10,y20,...,yn0)T можно подобрать константы Cj,j=1,2,...,n, так, что соответствующее решение y(x) удовлетворяет (5.41). Потребовав, чтобы решение y(x) удовлетворяло условиям (5.41), получим систему линейных алгебраических уравнений

 j=1nCjykj(x0)=yk(x0)=yk0,k=1,2,...,n, 

определитель которой W(x0)0 и поэтому существует единственное решение этой системы.

Таким образом, нами показано, что подпространство решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений конечномерно.

Определение. Любой базис пространства решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений  n -го порядка называется фундаментальной системой решений этой системы уравнений.

Так же, как и в линейной алгебре, имеет место следующий результат.

Теорема (о виде общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение yон линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений y=A(x)y+b(x) есть сумма общего решения yоо соответствующей однородной системы уравнений y=A(x)y и какого либо частного решения yчн неоднородной системы уравнений, то есть yон(x)=yоо(x)+yчн(x).

Доказательство. Пусть yчн(x) какое-нибудь фиксированное частное решение неоднородной системы линейных уравнений y=A(x)y+b(x). Нам нужно показать, что для любого набора начальных данных (y1(x0),y2(x0),...,yn(x0))T=  =(y10,y20,...,yn0)T можно подобрать константы Cj,j=1,2,...,n, так, что решение y(x)=j=1nCjyj(x)+yчн(x), где y1,y2,...,yn - фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений y=A(x)y, удовлетворяет этому набору начальных данных. Потребовав, чтобы данное решение удовлетворяло начальным условиям, получим систему линейных алгебраических уравнений

 j=1nCjykj(x0)+(yчн)k(x0)=yk(x0)=yk0,k=1,2,...,n,

или, что то же самое,

 j=1nCjykj(x0)=yk0(yчн)k(x0),k=1,2,...,n,

определитель которой W(x0)0 и поэтому существует единственное решение этой системы. Теорема доказана.